Teoría de los Juegos
Trata sobre situaciones donde la efectividad de las decisiones
tomadas por una parte, depende de las decisiones tomadas por las otras partes,
que suponemos que actúan en forma racional.
Se supone que, en un juego, todos los
jugadores son racionales, inteligentes y están bien informados. En particular,
se supone que cada jugador conoce todo el conjunto de estrategias existentes,
no sólo para él, sino también para sus rivales, y que cada jugador conoce los
resultados de todas las combinaciones posibles de las estrategias.
La teoría de juegos esta básicamente ligada a
las matemáticas, ya que es principalmente una categoría de matemáticas
aplicadas, aunque los analistas de juegos utilizan asiduamente otras áreas de
esta ciencia, en particular las probabilidades, la estadística y la
programación lineal en conjunto con la teoría de juegos. Pero la mayoría de la
investigación fundamental es desempeñada por especialistas en otras materias.
Esta teoría tiene aplicaciones en numerosas
áreas, como las ciencias políticas o la estrategia militar, que fomentó algunos
de los primeros desarrollos de esta teoría. La biología evolutiva, donde se ha
utilizado ampliamente para comprender y predecir ciertos resultados de la
evolución, o la psicología, donde puede utilizarse para analizar juegos de
simple diversión o aspectos mas importantes de la vida y la sociedad también
son claros ejemplos
de aplicaciones..
Pero su principal aplicación la encontramos
en las ciencias económicas ya que intenta encontrar estrategias racionales en
situaciones donde el resultado depende no solamente de la estrategia de un
participante y de las condiciones del mercado, sino también de las estrategias
elegidas por otros jugadores, con objetivos distintos o coincidentes.
En esta ciencia se ha evolucionado
notablemente a partir de los instrumentos proporcionados por el matemático
húngaro John Von Neumann (1903-1957) y Oskar Morgenstern (1902-1976).
La teoria de juegos ha venido desempe- ñando , en los últimos tiempos, un papel cada vez
mayor en los campos de lógica y ciencias informáticas. Varias teorías de lógica
se basan en la semántica propia a los juegos, e informáticos han utilizado
juegos para representar computaciones.
John Forbes Nash (1928- ) es el nombre más
destacado relacionado con la teoría de juegos. A los 21 años escribió una
tesina de menos de treinta páginas en la que expuso por primera vez su solución
para juegos estratégicos no cooperativos, lo que desde entonces se llamo
"el equilibrio de Nash", que tuvo un
inmediato reconocimiento entre todos los especialistas. Consiguió en
1994 el Premio Nobel de Economía compartido por sus pioneros análisis del
equilibrio en la teoría de los juegos no cooperativos.
El último aporte importante a la teoría de
juegos es de Robert J. Aumann y Thomas C. Schelling, por la que han obtenido el
premio Nobel de Economía en el año 2005.
Clasificación de los Juegos
Según
la cantidad de
competidores los juegos se clasifican en:
Juegos de 2 jugadores.
Juegos de 3 jugadores.
Juegos de 4 jugadores
Juegos de N jugadores.
Clasificación de los Juegos
Según
el resultado de la suma del beneficio de los jugadores, se clasifican en:
Juegos de Suma
Cero:
(lo
que gana uno lo pierde el otro)
Juegos de Suma
Distinta de Cero.
(ambos
jugadores pueden ganar o ambos pueden perder)
Clasificación de los Juegos
Según
los intereses de
los jugadores los juegos se clasifican en:
Juegos de Conflicto Puro.
Juegos de Coordinación Pura.
Juegos de Negociación.
Clasificación de los Juegos
Según
el grado de comunicación o acuerdo previos de los jugadores,hay:
Juegos Cooperativos:
los jugadores pueden discutir sus
estrategias, realizar acuerdos y formar coaliciones.
Juegos No Cooperativos
los jugadores toman las decisiones
indepen-dientemente, o bien porque la comunicación no existe, o está prohibida,
o bien porque no es posible forzar un acuerdo
Formas de representación
Existen dos formas de representar una situación de decisión desde
el punto de vista de Teoría de los Juegos:
Forma Normal:
similar a una matriz de decisión.
Forma Extensiva:
similar a un árbol de decisión.
Forma
Normal
En las filas van las alternativas de A, en
las columnas las de B y el resultado es el que corresponde al jugador A. (juego
de suma cero)
Forma
Normal
Así lo vería el jugador B
Forma
Normal
Otra forma es colocar los resultados de ambos
jugadores, separados por una coma.
Forma
Normal
En un ejemplo de juego de Suma Distinta de
Cero, los resultados son diferentes y deben aparecer ambos.
Forma
Normal
Así lo ve el jugador A.
Forma
Normal
Así lo ve el jugador B.
Forma
Extensiva
Cada nodo responde a la decisión (jugada) que
hace cada competidor. Este formato permite ver la secuencia entre las distintas
movidas.
Forma
Extensiva
En las elecciones primero lo hace A y luego
B. Pero al trabajar el árbol se lo hace en forma inversa.
Juegos de Conflicto Puro
Los
intereses de los participantes son divergentes:
Juegos de Suma Cero, de dos jugadores: lo que
gana uno, lo pierde el otro.
Juegos de Suma Constante, de
dos jugadores: lo que se lleva uno, no se lo lleva el otro.
Juegos de Coordinación Pura
Los
intereses de los participantes son convergentes.
Lo
mejor para uno es también lo mejor para todos.
La
elección individual coincide con la elección del conjunto.
Ejemplo: La casa en llamas
Juegos de Negociación
Los
intereses de los participantes no son totalmente convergentes.
Se da
una situación ambivalente: mezcla de
conflicto y mutua dependencia, de compañerismo y rivalidad.
Ejemplo: El dilema del prisionero
Dilema del prisionero
Hay 2
detenidos y la policía no tiene pruebas contundentes. Los interrogan por
separado en forma simultánea.
Si
ninguno confiesa, los acusan de obstrucción a la justicia con 1 año de prisión.
Si uno confiesa y el otro no, el que confiesa se va en libertad y al otro le
dan 5 año de cárcel. Si los dos confiesan, reciben una sentencia de 3 años cada
uno.
Juegos de Negociación
Ejemplo: El dilema del prisionero
Juegos de Negociación
Tanto
A como B preferirán delatar al otro.
Para el Jugador
1
¡U1(callar, callar) = -1 < 0 = U1(confesar, callar)
¡U1(callar, confesar) = -5 < -3 =U1(confesar, confesar)
La
estrategia Callar está Estrictamente Dominada por la estrategia Confesar
Para el jugador 2
U2(callar, callar) = -1 < 0 = U2(confesar, callar)
U2(callar, confesar) = -5 < -3 =U2(confesar, confesar)
La
estrategia Callar está Estrictamente Dominada por la estrategia Confesar
Ventajas de la coordinación
Si A y
B coordinasen sus conductas, no se delatarían, y obtendrían mejores resultados
•Ventajas de la coordinación
Existen
otros casos donde la colaboración permite obtener mejores resultados positivos
Ventajas de la coordinación
A
veces pueden sumarse los beneficios para luego repartirlos entre los que
colaboran.
La batalla de los Sexos
Una
pareja arregló para verse a la noche pudiendo elegir entre ir al cine o al
Fútbol. No acordaron donde se encontraban y no pudieron comunicarse. Él
prefiere el fútbol, por sobre el cine y ella viceversa, pero los dos
prefieren estar juntos a separados.
¿Adónde iría usted?
La batalla de los Sexos
Juego del Halcón - Paloma
Dos animales se pelean por una presa. Pueden
optar por comportarse en forma pacífica (Paloma), o enfrentarse (Halcón). Si
ambos se comportan en forma pacífica, se reparten la presa (V). Si solo uno se
comporta en forma agresiva, se lleva la presa y si ambos se pelean, se reparten
la presa pero pierden un cierto costo C.
Juego del Halcón - Paloma
Juego del Halcón - Paloma
Para 0 < C ≤ V/2
Para el Jugador 1
U1(paloma, paloma) = V/2 < V = U1(halcón, paloma)
U1(paloma, halcón) = 0 ≤ V/2 - C = U1(halcón, halcón)
La estrategia
paloma está Dominada por la estrategia halcón
Para
el jugador 2
U2(paloma, paloma) = V/2 < V = U2(halcón, paloma)
U2(paloma, halcón) = 0 ≤ V/2 - C = U2(halcón, halcón)
La estrategia
paloma está Dominada por la estrategia halcón
Solución mediante argumentos de
dominación
Argumento racional
Ningún jugador
debería jugar estrategias Dominadas
Todos los
jugadores deben suponer que ningún jugador va a jugar estrategias dominadas
Dominancia
El análisis de dominancia requiere que todos
los resultados de la alternativa dominante sean mejores (o, por lo menos,
iguales) que los de la alternativa dominada, frente a todas las combinaciones
de los cursos de acción disponibles para
los otros jugadores.
Juego del Gallina
Dos
personas, conduciendo cada una un automóvil, se dirigen a gran velocidad hacia
un precipicio, el primero que salta es un gallina.
Si ninguno salta ambos mueren.
Variante:
conducir un automóvil por el centro de una ruta en direcciones opuestas.
Juego del Gallina
Diferencias con el dilema del
prisionero
Los
dos jugadores quieren hacer lo contrario a lo que hace el otro.
Lo
mejor es seguir y que el otro abandone o, si el otro sigue, abandonar. (¿quién
quiere morir?).
ESTRATEGIA MAXIMIN.
En el concepto de equilibrio de Nash es
fundamental es supuesto de racionalidad de los agentes. Si un agente sospechara
que su adversario no se comporta racionalmente, podría tener sentido que
adoptara una estrategia maximin, esto es, aquella en la que se maximiza la ganancia mínima que puede
obtenerse.
Vamos a considerar un juego
de suma cero. Cada
jugador dispone de tres estrategias posibles a las que designaremos como A, B,
y C (supongamos que son tres tarjetas con dichas letras impresas). Los premios
o pagos consisten en la distribución de diez monedas que se repartirán según
las estrategias elegidas por ambos jugadores y se muestran en la siguiente
tabla llamada matriz de pagos, en la que para cualquier combinación de
estrategias, los pagos de ambos jugadores suman diez
MATRIZ DE PAGOS
Las
estrategias
del otro
jugador
A B C
Mi estrategia A 9 | 1 1 | 9
2 | 8
B 6 | 4 5 | 5 4 | 6
C 7 | 3 8 | 2
3 | 7
Por ejemplo. Si yo juego la
tarjeta C y el otro jugador elige su tarjeta B entonces yo recibiré ocho
monedas y el otro jugador recibirá dos.
Para descubrir que estrategia me conviene más
vamos a analizar la matriz que indica mis pagos. Ignoro cual es la estrategia
(la tarjeta) que va a ser elegida por el otro jugador. Una forma de analizar el
juego para tomar mi decisión consiste en mirar cuál es el mínimo resultado que
puedo obtener con cada una de mis cartas. En la siguiente tabla se ha añadido
una columna indicando mis resultados mínimos
La estrategia del otro jugador
A B
C mínimos
Mi estrategia A
9 1 2
1
B 6 5 4 4
C 7
8 3 3
En efecto, Si yo elijo la tarjeta
A, puedo obtener 9, 1 o 2, luego como mínimo obtendré un resultado de 1.
Si elijo la tarjeta B, puedo
obtener 6, 5 o 4, luego como mínimo obtendré 4.
Si elijo la tarjeta C, puedo
obtener 7, 8 o 3, luego como mínimo obtendré 3.
De todos esos posibles resultados
mínimos, el que prefiero es 4 ya que es el máximo de los mínimos.
La estrategia MAXIMIN
consiste en elegir la tarjeta B ya que esa estrategia me
garantiza que, como mínimo, obtendré 4.
Teoría de
Juegos – Juegos contra la naturaleza
Cambia el comportamiento del jugador
establecido por Von Neumann.
No estamos obligados a suponer que la
naturaleza tome automáticamente el estado que nos sea mas desfavorable
(criterio de Wald).
Aplicar los 4 criterios a:
Teoría de Juegos – Criterio de Wald. Suponemos que la naturaleza
toma automáticamente el estado que nos sea mas desfavorable
Teoría de Juegos – Criterio de
Laplace
Se funda en una idea de Bernoulli (1654-1705)
Establece que si se desconocen
las probabilidades de los posibles estados hay que considerarlas equiprobables.
Se optará por la fila con mayor
esperanza matemática (en este caso mayor media).
Laplace
Teoría de Juegos – Criterio de
Leonid Hurwicz
Se define el grado de optimismo del decididor con un número entre 0 y 1
Si Ai es el mayor elemento y ai el menor se elegirá la fila
para la cual: a Ai + (1- a) ai sea máxima
Hurwicz (a =
70% )
Teoría de Juegos – Criterio de I.J.Savage- Tambien llamado de lamentos mínimos
Se define una nueva matriz en
la que cada elementos surge de hacer:
a ´ij = a ij - max a kj
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